\section*{习题 \thesection}
\begin{enumerate}
  \item 设 $a_{n}<a_{n}^{\prime}$, 记 $A_{n}=\left[a_{0}, \cdots, a_{n-1}, a_{n}\right], A_{n}^{\prime}=\left[a_{0}, \cdots, a_{n-1}, a_{n}^{\prime}\right]$. 证明：若 $n$ 为偶
数， 则 $A_{n}<A^{\prime}{ }_{n}$; 若 $n$ 为奇数则反之。

  \item 利用上题证明， 若 $n$ 为偶数， 则 $p_{n} / q_{n}<\alpha$; 若 $n$ 为奇数则反之 (其中 $p_{n} / q_{n}$ 为 $\alpha$ 连分数的第 $n$ 渐近分数).

  \item 求如下 $\alpha$ 的连分数展开： $(2+\sqrt{2}) / 2, \sqrt{15}-3,(1+\sqrt{5}) / 2$, 并由此得出收玫于 $\alpha$ 的渐近分数序列 (求到第 6 项).

  \item 考虑连分数 $\alpha=[1,1,1, \cdots]$, 试求 $\alpha$ 的值和渐近分数 $p_{n} / q_{n}$ 的公式和值 $(n \leqslant 12)$.而 $F_{n}=p_{n-1}=q_{n}$ 称为 Fibonacci( 斐波那契) 数 (Fibonacci numbers).

  \item $\alpha$ 和 $1 / \alpha$ 的连分数有何关系?

  \item 对连分数 $\alpha=\left[a_{0}, a_{1}, \cdots\right]$, 记 $A_{k}=\left(\begin{array}{cc}a_{k} & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), \Phi_{k}=\left(\begin{array}{cc}p_{k} & q_{k} \\ p_{k-1} & q_{k-1}\end{array}\right)$, 试证明：

\end{enumerate}
\[
\Phi_{n}=A_{n} \cdots A_{1} \Phi_{0}=\left(\begin{array}{cc}
a_{n} & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right) \cdots\left(\begin{array}{cc}
a_{0} & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)
\]
由此得出 $\operatorname{det} \Phi_{n}=p_{n} q_{n-1}-p_{n-1} q_{n}=(-1)^{n+1}$. 特别， 利用第 4 题中连分数 $\alpha=[1,1,1, \cdots]$,得知 Fibonacci 数满足
\[
\left(\begin{array}{cc}
F_{n+1} & F_{n} \\
F_{n} & F_{n-1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)^{n+1}
\]
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item 记 $\Phi_{k}=\left(\begin{array}{cc}p_{k-1} & p_{k} \\ q_{k-1} & q_{k}\end{array}\right), A_{k}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & a_{k}\end{array}\right)$, 证明： $\Phi_{n}=\Phi_{0} A_{1} \cdots A_{n}$. 可得上题类似结果。

  \item 熟悉矩阵的读者， 试用上题中的矩阵记号解释， 定理 4 证明中 $A D-B C= \pm 1$ 是自然的。

\end{enumerate}


\section*{习题 \thesection}
\begin{enumerate}
  \item (1) 将 $\sqrt{2}$ 展开为连分数， 求其渐近分数 $p_{n} / q_{n}$, 及 $\sqrt{2}-p_{n} / q_{n}(n \leqslant 4)$.
\end{enumerate}

(2) 分别求分母为 $q=2,3,4,5$ 的最接近 $\sqrt{2}$ 的分数 $p / q$, 并求 $|q \sqrt{2}-p|$ 和 $\sqrt{2}-p / q$, 其中哪些 $p / q$ 是最佳逼近?

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item 猜一猜连分数 $\alpha=[1,1,1,1,1, \cdots]$ 的值。

  \item 求连分数 $\alpha=[1,3,2,3,2, \cdots]$ 的值。

  \item 求 $\sqrt{4 a^{2}+1}$ 的连分数。

\end{enumerate}


\section*{习题 \thesection}
\begin{enumerate}
  \item 求如下二次数的连分数展开， 并列表给出 $a_{n}, p_{n}, q_{n}, P_{n}, Q_{n}$ (在一个周期内的):
\end{enumerate}
\[
\sqrt{13},(\sqrt{13}+1) / 2,(\sqrt{19}+3) /(\sqrt{19}+2)
\]
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item 求如下连分数表示的二次数：
\end{enumerate}
\[
[\overline{1,2,3}],[\overline{2,3,1}],[1, \overline{1,2,3}],[2,1, \overline{1,2,3}]
\]
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item 确定如下哪些二次数的连分数是纯循环的：
\end{enumerate}
\[
\sqrt{3}+1, \quad \sqrt{101} / 3+3, \quad(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}, \quad(\sqrt{5}-1) / 2, \quad \sqrt{5}+2
\]
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item 证明如下公式：\\
(1) $[\bar{a}]=\left(a+\sqrt{a^{2}+4}\right) / 2$.\\
(2) $[1, \bar{a}]=\left(2-a+\sqrt{a^{2}+4}\right) / 2$.\\
(3) $[a, \overline{2 a}]=\sqrt{a^{2}+1}$.\\
(4) $[\overline{a, b}]=(-a b+\sqrt{a b(a b+4)}) / 2$.\\
(5) $\left[\overline{a_{1}, \cdots, a_{n}}\right]=\left(-\left(q_{n-1}-p_{n}\right)+\sqrt{\left(q_{n-1}-p_{n}\right)^{2}+4 q_{n} p_{n-1}}\right) / 2 q_{n}$.
  \item 设 $d=s^{2} \pm 1$, 或 $D=s^{2} \pm 4$, 试将 $\sqrt{d}$ 和 $\sqrt{D}$ 展开为连分数。

  \item 设

\end{enumerate}
\[
d=s^{2}+r, \quad r \mid 4 s
\]
(其中 $s, r \in \mathbb{Z}, s>0,-s<r<4(s+1) / 3, d>5)$, 试将 $\sqrt{d}$ 展开为连分数 (分情况).

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item 熟悉矩阵的读者， 解释定理 1 证法 2 中， $B_{n}^{2}-4 A_{n} C_{n}=b^{2}-4 a c$ 是自然的。
\end{enumerate}


\section*{习题 \thesection}
\begin{enumerate}
  \item 对无平方因子的正整数 $d \leqslant 10$, 分别指出对何种 $|c|<\sqrt{d}$, Pell 型方程
\end{enumerate}
\[
x^{2}-d y^{2}=c
\]
有整数解? 并求最小正整数解。

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item 分别用定理 2 和定理 3 中的方法， 分别求 $x^{2}-3 y^{2}= \pm 1$ 和 $x^{2}-5 y^{2}= \pm 1$ 的最小 3 个正整数解。

  \item 对 $d=s^{2} \pm 1$, 或 $s^{2} \pm 4$, 求 $x^{2}-d y^{2}= \pm 1$ 的最小正整数解。

  \item 设

\end{enumerate}
\[
d=s^{2}+r, \quad r \mid 4 s
\]
(其中 $s, r \in \mathbb{Z}, s>0,-s<r<4(s+1) / 3, d>5$ ), 试证明 $x^{2}-d y^{2}= \pm 1$ 的基础解为
\[
\varepsilon= \begin{cases}s+\sqrt{d}, & \text { 若 } r= \pm 1 ; \\ (s+\sqrt{d}) / 2, & \text { 若 } r= \pm 4 ; \\ (s+\sqrt{d})^{2} / r, & \text { 若 }|r| \neq 1 \text { 或 } 4 .\end{cases}
\]

\section*{习题 \thesection}
\begin{enumerate}
  \item 证明： $\alpha=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_{k}}{b^{k!}}\left(\right.$ 整数 $\left.b \geqslant 2,0 \leqslant a_{k}<b\right)$ 是 Liouville 常数， 是超越数。

  \item 证明： $\alpha=\left[10^{1!}, 10^{2!}, 10^{3!}, \cdots\right]$ 是 Liouville 常数， 是超越数。

  \item 设 $f(x, y)=\sum_{i=0}^{n} b_{i} x^{n-i} y^{i}$ 和 $g(x, y)=\sum_{i+j \leqslant n-3} c_{i j} x^{i} y^{j}$ 为整系数多项式， $f$ 不可约， $n \geqslant 3$.证明： $f(x, y)=g(x, y)$ 最多有有限对整数解 $(x, y)$.

  \item 设 $f(x, y)=\sum_{i=0}^{n} b_{i} x^{n-i} y^{i}$ 为不可约整系数多项式 $(n \geqslant 3), c$ 为整数， 证明： $f(x, y)=c$最多有有限对整数解。

\end{enumerate}


\section*{习题 \thesection}
\begin{enumerate}
  \item 用定理 1 的方法表如下素数为二平方和：17，53，73，181.

  \item 用连分数方法直接求解： $x^{2}-3 x-1=0$.

\end{enumerate}

